友矩阵

Companion Matrix
是线性代数中的一种特殊矩阵，它与多项式理论紧密相关。友矩阵通常用于表示多项式的根，并且是研究多项式特征值和特征向量的重要工具。

给定一个 $n$ 次多项式 $p (x)$ ：

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

其中 $a_{n} \neq 0$ ，该多项式的友矩阵 $C$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，定义如下：

C = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - \frac{a_{0}}{a_{n}} & - \frac{a_{1}}{a_{n}} & - \frac{a_{2}}{a_{n}} & \dots & - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \end{matrix})

$a_{n} = 1$ 时：

C = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{0} & - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} \end{matrix})

特征值：友矩阵 $C$ 的特征值正是多项式 $p (x)$ 的根。这是因为 $C$ 的特征多项式与 $p (x)$ 相同。
最小多项式：友矩阵的最小多项式也是 $p (x)$ ，这意味着 $p (x)$ 是使得 $C$ 变为零矩阵的最小次数的多项式。
Jordan 标准形：如果多项式 $p (x)$ 没有重复根，那么友矩阵 $C$ 可以对角化，并且它的 Jordan 标准形就是对角线上有 $p (x)$ 的根的对角矩阵。
可对角化性：如果多项式 $p (x)$ 的所有根都是不同的，那么友矩阵 $C$ 是可对角化的。如果存在重复根， $C$ 可能不是可对角化的，但总是可以转换为 Jordan 标准形。

友矩阵在控制理论、信号处理、数值分析和动态系统等领域有广泛的应用。它们可以用来分析系统的稳定性，设计控制器，以及研究系统的动态行为。在数值线性代数中，友矩阵也用于测试算法的稳定性和效率。